06 Power Rule proof
by EngliSea on 2020-07-10
Definition of differentiation
(x˄n)▽x = 「((x+h)˄−x˄n)/h :h⨠0」

Binomial Expansion
(x+h)˄n
= 「n!/((n−k)!·k!)·x˄(n−k)·h˄k Σk=0,n」

(x+h)˄n − x˄n
= 「n!/((n−k)!·k!)·x˄(n−k)·h˄k Σk=1,n」

((x+h)˄n−x˄n) / h
= 「n!/((n−k)!·k!)·x˄(n−k)·h˄(k−1) Σk=1,n」

「((x+h)˄n−x˄n)/h :h⨠0」
= 「n!/((n−k)!·k!)·x˄(n−k)·h˄(k−1) Σk=1,1」

All terms approach 0 except the term where k=1.

= (n!/((n−1)!·1!))·x˄(n−1)·h˄(1−1)
= n·x˄(n−1)