421 First comparison test
by EngliSea on 2020-07-21
ᐥIf 0 ≤ a⸤n⸥ ≤ b⸤n⸥ for all n∈ℕ then
(a) 「b⸤i⸥ Σi=1,∞」 converges
⇒ 「a⸤i⸥ Σi=1,∞」 converges
(b) 「a⸤i⸥ Σi=1,∞」 diverges
⇒ 「b⸤i⸥ Σi=1,∞」 divergesᐥ

Proof of (a)
┆0 ≤ a⸤n⸥┆
「a⸤i⸥ Σi=1,n」 is increasing.
「a⸤i⸥ Σi=1,n」
┆a⸤n⸥ ≤ b⸤n⸥┆
≤ 「b⸤i⸥ Σi=1,n」
┆0 ≤ b⸤n⸥┆
≤ 「b⸤i⸥ Σi=1,∞」
Thus 「a⸤i⸥ Σi=1,n」 is bounded above.


A bounded monotone sequence is convergent.


So 「a⸤i⸥ Σi=1,n」 converges.
(b) is the contraposituve of (a).